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對(duì)在英格蘭切德沃斯的羅馬別墅發(fā)現(xiàn)的羅馬路面馬賽克上的回文裝飾圖案進(jìn)行了幾何分析。分析表明，由四條閉合曲線組成的錯(cuò)綜復(fù)雜的卐字記號(hào)回文圖案可以很容易地用一個(gè)非常簡(jiǎn)單的假設(shè)算法構(gòu)建出來(lái)。該算法也解釋了遍布羅馬帝國(guó)的羅馬卐字的設(shè)計(jì)。這些圖案與安哥拉的sona傳統(tǒng)藝術(shù)以及南印度泰米爾的kolam傳統(tǒng)藝術(shù)有著密切的聯(lián)系。所描述的分析和算法可應(yīng)用于幾何鑲嵌圖案的分類(lèi)、新圖案的設(shè)計(jì)以及被時(shí)間破壞的部分鑲嵌圖案的重建。

1. 簡(jiǎn)介

(資料圖片)

英國(guó)最令人印象深刻的羅馬別墅之一是格洛斯特郡的切德沃斯別墅。對(duì)別墅的詳細(xì)描述，它的發(fā)現(xiàn)歷史，以及有用的參考資料已由P. Bethel編譯，并由The National Trust[3]出版。自發(fā)現(xiàn)以來(lái)，幾幅未被發(fā)現(xiàn)的幾何馬賽克已經(jīng)部分修復(fù)。最迷人的馬賽克，發(fā)現(xiàn)在餐廳，包含一個(gè)復(fù)雜的卐字回文圖案，如圖1所示。

圖1：切德沃斯的幾何馬賽克

如圖1所示的卐字記號(hào)回文圖案常見(jiàn)于古羅馬和希臘馬賽克圖案(以及中國(guó)裝飾[31])，為區(qū)域的“二維”裝飾和“一維”飾帶或條紋圖案提供了設(shè)計(jì)技巧[2]、[5-8]、[13-15]、[19]、[23]、[29]。然而，對(duì)羅馬和希臘馬賽克的學(xué)術(shù)研究明顯忽略了對(duì)這些幾何圖案的幾何分析，并傾向于主要關(guān)注馬賽克涉及植物或人物的那些方面，以得出關(guān)于創(chuàng)造這些設(shè)計(jì)的社會(huì)的傳統(tǒng)和愿望的結(jié)論[7]、[15]、[21]。值得注意的例外是菲利普斯關(guān)于羅馬馬賽克迷宮拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究工作[24]，以及史密斯[26]和薩頓[27]的幾何分析。在本文中，我們打破這一傳統(tǒng)，對(duì)羅馬時(shí)期英國(guó)最迷人的幾何鑲嵌畫(huà)之一進(jìn)行了幾何分析。分析顯示，在切德沃斯馬賽克上發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)綜復(fù)雜的卐字記號(hào)的回文圖案，由四條閉合的曲線組成，可以用一種非常簡(jiǎn)單的假設(shè)算法很容易地構(gòu)建出來(lái)。該算法還解釋了遍布羅馬帝國(guó)的羅馬和希臘卐字的設(shè)計(jì)。這些卐字與安哥拉的sona傳統(tǒng)藝術(shù)以及南印度泰米爾的kolam傳統(tǒng)藝術(shù)有著密切的聯(lián)系。之前，Gerdes [10]提供了一份sona圖紙與古埃及、美索不達(dá)米亞、瓦努阿圖群島和凱爾特結(jié)設(shè)計(jì)的綜合比較分析。我們現(xiàn)在可以把希臘和羅馬的馬賽克添加到曲線族中。下文描述的分析和算法可應(yīng)用于現(xiàn)有幾何鑲嵌圖案的分類(lèi)[19]，[30]新圖案的設(shè)計(jì)[18]，以及被戰(zhàn)爭(zhēng)或地震部分破壞的鑲嵌圖案的重建。

2 Lewis F. Day書(shū)中的羅馬人行道

1903年Lewis F. Day出版了一本關(guān)于圖案設(shè)計(jì)的精彩書(shū)籍[6]。他書(shū)中描述的技術(shù)，以及書(shū)中散布的智慧，和100年前一樣適用于今天。在第17章，標(biāo)題為“不嚴(yán)格重復(fù)的圖案”，我們發(fā)現(xiàn)他的圖250與當(dāng)前的討論最相關(guān)，并復(fù)制在圖2中。Lewis F. Day對(duì)這一設(shè)計(jì)有如下看法。

“羅馬的路面模式可以被描述為由一個(gè)非常寬的邊界和一個(gè)非常小的面板組成。但它同樣可以被看作是一個(gè)重復(fù)幾何圖案，在一些地方聚集在一起，并在邊緣完成，結(jié)果，更多的是偶然而不是預(yù)定的目的，在一個(gè)有寬邊界的中央面板上，在它內(nèi)部又包圍了更小的空間?！?/p>

不幸的是，Lewis F. Day對(duì)這個(gè)錯(cuò)綜復(fù)雜的設(shè)計(jì)沒(méi)有更多的話(huà)要說(shuō)，甚至沒(méi)有指出這個(gè)圖案來(lái)自哪里。他簡(jiǎn)單地將其描述為羅馬路面圖案。然而，通過(guò)比較圖1和圖2中的兩種圖案，在缺乏其他知識(shí)的情況下，這兩種圖案似乎是相同的。使用“出現(xiàn)”這個(gè)詞是有根據(jù)的，因?yàn)椴恍业氖?，圖1中真正的馬賽克缺失了一大部分。

圖2：Lewis F. Day書(shū)中的羅馬路面設(shè)計(jì)[6]。

一個(gè)自然產(chǎn)生的問(wèn)題是，Lewis F. Day是否重建了圖1中明顯缺失的部分，如果沒(méi)有，他是否從其他地方獲取或推斷了該圖案？要回答這個(gè)問(wèn)題，有助于區(qū)分面板的集合，或Lewis F. Day稱(chēng)之為“空間”，以及在這些空間之間導(dǎo)航的卐字記號(hào)回文圖案。圖3展示了圖案中面板的排列。有三種類(lèi)型的面板：中間的一個(gè)大正方形，大正方形的上、下、右和左的四個(gè)矩形，以及排列在四組中的二十個(gè)小正方形，每組五個(gè)，位于整個(gè)區(qū)域的每個(gè)角落。

圖3：Lewis Day圖形中面板的排列。

離切德沃斯不遠(yuǎn)的伍德徹斯特還有一座羅馬別墅，因一幅名為《俄耳甫斯與野獸》的馬賽克而聞名，因此簡(jiǎn)稱(chēng)為《俄耳甫斯馬賽克》。這是一幅相當(dāng)大的鑲嵌畫(huà)，大約14平方米。它由一個(gè)巨大的圓形面板組成，中間描繪了各種動(dòng)物。這個(gè)中心面板被一組幾何圖案包圍著。有趣的是，有四個(gè)幾何圖案，每個(gè)角一個(gè)，它們由完全相同的面板排列組成，如圖3所示。此外，在兩個(gè)截然相反的角落里的卐字記號(hào)回文圖案與Lewis Day的書(shū)中的回文圖案完全相同(圖2)。另外兩個(gè)角包含回文圖案，它們是圖2中圖案的鏡像。換句話(huà)說(shuō)，在兩個(gè)角上，卐字記號(hào)以順時(shí)針?lè)较虼蜷_(kāi)，在另外兩個(gè)角上，它們以逆時(shí)針?lè)较虼蜷_(kāi)。然而，伍德切斯特鑲嵌畫(huà)中嵌板內(nèi)部的圖案不同于切德沃斯鑲嵌畫(huà)中的圖案，而且比切德沃斯鑲嵌畫(huà)中的圖案更簡(jiǎn)單。此外，由于圖1和圖2中嵌板內(nèi)部的圖案是相同的，因此僅基于這一知識(shí)就可以得出結(jié)論，圖2的卐字記號(hào)回文圖案是與圖3的嵌板排列一起使用的某種標(biāo)準(zhǔn)圖案，并且Lewis Day的書(shū)中的圖案旨在描繪Chedworth馬賽克。最有可能的是，Lewis Day通過(guò)觀察伍德徹斯特鑲嵌畫(huà)中完整的圖案,“重建”了切德沃斯鑲嵌畫(huà)中卐字記號(hào)回文圖案的缺失部分。

3.面板上的圖案

切德沃斯鑲嵌圖中的三種嵌板包含四種不同的圖案，如圖4所示。最左邊的圖像位于切德沃斯馬賽克的中心。它是由無(wú)處不在的所羅門(mén)結(jié)[7]組成，由紅色和綠色的兩股互鎖的繩子組成，疊加在藍(lán)色的順時(shí)針彎曲的卐字記號(hào)圖案上。所羅門(mén)結(jié)可以追溯到遙遠(yuǎn)的過(guò)去，在世界各地的許多文化中找到。例如，它出現(xiàn)在尼加拉瓜的古代石刻上[32]，安哥拉東部的古代巖石雕刻上[12]，非洲的Hausa刺繡上[1]，以及法國(guó)Noirlac的十二世紀(jì)教堂的grisaille玻璃制品上[33]。該圖案由左起第二個(gè)圖案包圍，為三股扭索花紋。為了便于觀察，圖4中的每條線都涂上了不同的顏色。三股扭索飾也被用于許多傳統(tǒng)藝術(shù)。它不僅經(jīng)常出現(xiàn)在希臘和羅馬的鑲嵌畫(huà)中[7][15]，也出現(xiàn)在傳統(tǒng)的波斯和凱爾特的編織物中[1]。Chedworth馬賽克中的20個(gè)小正方形面板都包含相同的圖案，如圖4中左起第三個(gè)圖案所示。它由紅色、藍(lán)色和綠色的三條線組成。這種三股結(jié)經(jīng)常在羅馬馬賽克中用來(lái)裝飾正方形區(qū)域。例如，在伍德徹斯特發(fā)現(xiàn)的俄耳甫斯馬賽克[7]的四個(gè)角上，它被用在大的方形中央嵌板上。最后，圖4中最右邊的圖案包含在Chedworth馬賽克的四個(gè)矩形面板中。對(duì)這種圖案(藍(lán)色)的研究表明，它由一條封閉的曲線組成。

圖4：切德沃斯鑲嵌面板中包含的四種圖案。

4.羅馬馬賽克、Sona繪畫(huà)和Kolam圖案之間的聯(lián)系

來(lái)自世界遙遠(yuǎn)地方的幾種文化享受著傳統(tǒng)的視覺(jué)藝術(shù)實(shí)踐，這些實(shí)踐通過(guò)一條共同的線索將它們結(jié)合在一起：使用滿(mǎn)足某些幾何特性的回文的循環(huán)幾何曲線[22]。這些實(shí)踐中最突出的是非洲安哥拉的sona繪畫(huà)傳統(tǒng)[12]，以及印度南部泰米爾文化的kolam藝術(shù)作品[9]。一幅典型的sona (kolam)畫(huà)由一條或多條曲線組成，這些曲線圍繞著一組事先以高度對(duì)稱(chēng)的方式排列的點(diǎn)。在繪制每條閉合曲線的過(guò)程中，所使用的筆或其他工具(在沙畫(huà)的情況下用手指畫(huà))不得離開(kāi)紙張，并且不得重復(fù)已經(jīng)繪制的線。此外，這種交叉通常是直角，或幾乎如此。對(duì)于某些繪圖，繪制了多條曲線，但最理想的繪圖通常由一條曲線組成。由一條曲線組成的圖形稱(chēng)為單線性[17]，而由幾條曲線組成的圖形稱(chēng)為多線性[12]。如圖4所示，當(dāng)圖紙?jiān)谄浣徊嫣幇舷滦畔r(shí)，它們?cè)诩~結(jié)理論中被稱(chēng)為紐結(jié)圖，如果它們是單線的，則被稱(chēng)為紐結(jié)[28]。sona繪圖的另一個(gè)常見(jiàn)要求是，當(dāng)一個(gè)繪圖完成時(shí)，每個(gè)有界區(qū)域的內(nèi)部必須恰好包含一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于給定的一組固定點(diǎn)，滿(mǎn)足這些約束的許多拓?fù)洳煌膕ona圖是可能的。例如，圖5示出了在同一組五個(gè)點(diǎn)上的三個(gè)這樣的單線拓?fù)洳煌膕ona圖。值得注意的是，術(shù)語(yǔ)“sona”圖紙是在更一般的幾何意義上使用的，而不是在更嚴(yán)格的文化意義上。因此，圖5中的第三幅圖是傳統(tǒng)的sona圖，但前兩幅不是。最左邊的圖畫(huà)是Liu [16]的圖1中出現(xiàn)的圖畫(huà)的平滑全等改編。然而，它們都是幾何sona圖。與切德沃斯鑲嵌圖案更相關(guān)的是，這5個(gè)點(diǎn)也承認(rèn)有兩條曲線的(幾何)sona圖，如圖6所示。

圖5：三張拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同的sona圖，5個(gè)點(diǎn)排列相同。

圖6：在5個(gè)點(diǎn)的相同排列上繪制的雙鏈(紅色和綠色)sona。

圖6中的雙線sona與圖4中的雙線所羅門(mén)結(jié)之間的相似性是明顯的。所羅門(mén)結(jié)沒(méi)有在sona圖中出現(xiàn)的點(diǎn)，sona圖不具有構(gòu)成所羅門(mén)結(jié)的線的上下三維方面。除此之外，兩條曲線具有相同的結(jié)構(gòu)。然而，sona圖和羅馬馬賽克曲線形圖案之間的關(guān)系甚至比這更密切。盡管劉易斯·戴(Lewis Day)繪制的切德沃斯馬賽克將20個(gè)小正方形面板中的設(shè)計(jì)描述為只有3股繩結(jié)，但檢查圖1中的照片顯示，這些繩實(shí)際上像sona圖中那樣圍繞著一組點(diǎn)回文而行。這些白色的點(diǎn)在圖7所示的切德沃斯馬賽克的細(xì)節(jié)放大圖中清晰可見(jiàn)。此外，一些用于紡織品的非洲設(shè)計(jì)包含sona圖紙，具有與羅馬馬賽克曲線形圖案和凱爾特結(jié)相同的上下特性。Zaslavsky[34]用照片記錄了幾個(gè)這樣的例子：圖8.4(來(lái)自尼日利亞的約魯巴雕刻葫蘆)，圖10.6和14.7(來(lái)自扎伊爾的庫(kù)巴刺繡拉非亞布)，圖17.1(來(lái)自尼日利亞的約魯巴珠靴)。此外，圖14.7中的示例包含在切德沃斯馬賽克的小正方形面板中發(fā)現(xiàn)的三股曲線的兩個(gè)副本。

圖7：切德沃斯馬賽克的細(xì)節(jié)，顯示曲線形圖案中的白點(diǎn)。

包含在小方形面板中的20個(gè)回文圖案由3股繩結(jié)組成，繞著規(guī)則的3 × 3網(wǎng)格中的13個(gè)點(diǎn)回文而行。此模式的sona版本(沒(méi)有上下方面)顯示在圖8的左側(cè)圖中，使用三種顏色來(lái)區(qū)分三條線。

在13點(diǎn)承認(rèn)的極其大量的可能的sona繪畫(huà)中，人們可能會(huì)想知道羅馬人是如何得出這種特殊的和最受歡迎的圖案的。答案可能是一個(gè)簡(jiǎn)單的算法，如圖8的右圖所示。首先構(gòu)建一個(gè)包圍所有點(diǎn)的正方形，使正方形和點(diǎn)之間的距離是兩個(gè)水平相鄰點(diǎn)之間距離的一半?，F(xiàn)在想象這個(gè)正方形要么是臺(tái)球桌，要么是由鏡子組成的。要構(gòu)建藍(lán)色曲線，讓一個(gè)臺(tái)球(或鏡子中的光束)從正方形上的一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始以45度角滾動(dòng)，該點(diǎn)位于最左上角的點(diǎn)上方。然后沿著球的路徑走，直到它回到起點(diǎn)，記住(像光一樣)每當(dāng)球碰到正方形的邊緣，它就會(huì)以45度角反彈(或反射)，從而轉(zhuǎn)過(guò)90度角。為了描繪出剩余的曲線，從包含在點(diǎn)的頂行中的點(diǎn)的正上方的所有點(diǎn)開(kāi)始重復(fù)這個(gè)過(guò)程。Gerdes描述了生成這類(lèi)sona圖的程序，出于顯而易見(jiàn)的原因，他稱(chēng)之為鏡像曲線[12]。在本書(shū)中，Gerdes追溯了這些算法的起源，追溯到非洲和世界其他許多地方的實(shí)踐，即通過(guò)在矩形的邊上以45度角折疊繩股來(lái)編織矩形墊子。一旦獲得了最終的圖案(圖8，右)，去除反射正方形，可以平滑三個(gè)曲線的拐角，并且可以應(yīng)用上下圖案以獲得圖7中的圖案。在他1999年的著作《來(lái)自非洲的幾何學(xué)》中，Gerdes給出了關(guān)于鏡像曲線的更一般概念的更多細(xì)節(jié)[11]。

圖8：在一個(gè)3x 3的正方形中，圍繞著規(guī)則間隔的點(diǎn)的三股回文圖案。

包含在切德沃斯鑲嵌圖的四個(gè)矩形面板中的圖4中最右邊的圖案(在圖7中也可見(jiàn))可以用相同的算法構(gòu)建，如圖9所示。然而，在這種情況下，只需要一條曲線，因?yàn)楫?dāng)一條曲線開(kāi)始時(shí)，它繼續(xù)從邊界反射，直到它在返回到起始點(diǎn)之前完成整個(gè)繪圖(因此只有一種顏色)。發(fā)生這種情況是因?yàn)橥獠烤匦蔚某叽鐬?x8，這兩個(gè)數(shù)字都是質(zhì)數(shù)。

圖9：在一個(gè)3x8的矩形中規(guī)則間隔的點(diǎn)周?chē)膯尉€回文圖案。

5.解讀卐字記號(hào)回文圖案

現(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)而分析切德沃斯鑲嵌畫(huà)中最復(fù)雜、最迷人的圖案：纏繞在嵌板之間整個(gè)空間的直線型卐字記號(hào)回文圖案。該圖案可以被視為使用8乘8的正方形虛擬棋盤(pán)作為底層向?qū)?lái)構(gòu)建的。在棋盤(pán)的每一行和每一列都有4個(gè)卐字記號(hào)圖案，總共有32個(gè)。這32個(gè)卐字記號(hào)由回文的直線連接起來(lái)。出現(xiàn)的第一個(gè)問(wèn)題是：有多少閉合曲線組成這個(gè)圖案？對(duì)不同顏色的曲線的簡(jiǎn)單描繪揭示了該圖案由4條不同的閉合曲線組成，如圖10所示。它們被染成藍(lán)色、紅色、綠色和黑色。黑色曲線停留在圖的中心附近，緊緊圍繞著大的中央方形面板。藍(lán)色曲線連接圖形的四個(gè)外角和中心。紅色和綠色曲線連接外部正方形邊的中心。為了更清楚地了解每條曲線如何回文穿過(guò)面板之間的空間，圖11中單獨(dú)顯示了每條曲線。

圖10：組成卐字記號(hào)回文圖案的四條曲線。

圖11：組成卐字記號(hào)回文圖案的四條單線曲線。

卐字記號(hào)的回文圖案提出了其他問(wèn)題，關(guān)于在這個(gè)和其他類(lèi)似的遍布羅馬帝國(guó)的路面馬賽克中的一般羅馬設(shè)計(jì)原則。例如，這個(gè)設(shè)計(jì)中的所有卐字符號(hào)都是以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的方式打開(kāi)的。顯而易見(jiàn)，它們都可以以逆時(shí)針?lè)绞酱蜷_(kāi)，因?yàn)槿藗冎恍璺D(zhuǎn)圖案以獲得其鏡像。事實(shí)上，正如前面所指出的，這種逆時(shí)針形式的圖案在伍德徹斯特的俄耳甫斯馬賽克中非常明顯。更有趣的問(wèn)題是，是否有可能出現(xiàn)一種設(shè)計(jì)，其中一些卐字記號(hào)以順時(shí)針?lè)较虼蜷_(kāi)，而另一些以逆時(shí)針?lè)较虼蜷_(kāi)。這個(gè)問(wèn)題的答案是肯定的。事實(shí)上，對(duì)于24個(gè)卐字記號(hào)中的每一個(gè)，我們都可以先驗(yàn)地選擇其所需的方向，然后構(gòu)建一個(gè)實(shí)現(xiàn)所有這些選擇的回文圖案。為了回答這個(gè)問(wèn)題和其他問(wèn)題，我們?cè)谙旅媪谐隽艘粋€(gè)簡(jiǎn)單的算法來(lái)構(gòu)建切德沃斯回文圖案，我們假設(shè)切德沃斯和其他地方的羅馬設(shè)計(jì)師使用了這個(gè)算法。該算法的開(kāi)始與我們已經(jīng)用來(lái)構(gòu)建圖8中的圖案的算法相同。像以前一樣，我們構(gòu)建圍繞整個(gè)圖案的正方形，這些正方形充當(dāng)反射鏡或充當(dāng)臺(tái)球桌的邊緣(參見(jiàn)圖12，注意有兩個(gè)正方形，較大的一個(gè)用于兩條外部曲線，較小的一個(gè)用于內(nèi)部曲線)。25個(gè)小正方形面板將扮演曲線回文環(huán)繞的點(diǎn)的角色?，F(xiàn)在的區(qū)別是，中間的大正方形面板，以及圍繞它的四個(gè)矩形面板，也充當(dāng)臺(tái)球的反射鏡或反彈邊緣。為了開(kāi)始我們的構(gòu)造，我們畫(huà)了四條純反射曲線，如圖12所示。以轉(zhuǎn)角訪問(wèn)曲線為例。和以前一樣，我們從頂行最左邊的正方形面板上方的一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始沿東南方向以45度角追蹤曲線。每當(dāng)臺(tái)球碰到外面的正方形或其中一個(gè)白色面板時(shí)，它就會(huì)以45度角反射，直到它回到起始位置。類(lèi)似的過(guò)程用于生成另外兩條曲線。最后，內(nèi)部的黑色曲線是從一個(gè)矩形白色面板的內(nèi)側(cè)中點(diǎn)開(kāi)始生成的。

我們算法的第一部分之前已經(jīng)在Gerdes的工作[10]中被建議用于sona圖的構(gòu)造。這也是Bain [1]和Meehan [20]在書(shū)中闡述的構(gòu)建凱爾特結(jié)的基本設(shè)計(jì)原則，Schlatter [25]在更一般的數(shù)學(xué)背景下對(duì)其進(jìn)行了分析。

圖12：構(gòu)建Chedworth的卐字記號(hào)回文圖案的算法。

通過(guò)比較圖12和10，讀者將會(huì)注意到，圖12中兩條回文曲線之間的每個(gè)交叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖10中包含卐字圖案的位置。為了完成設(shè)計(jì)，將圖12中的圖案轉(zhuǎn)換成圖10中的圖案所需的剩余步驟很簡(jiǎn)單。請(qǐng)注意，圖12中使用的所有線條的對(duì)角線方向都是45度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們對(duì)圖形進(jìn)行了變形，使得所有使用的線段都是垂直或水平的，同時(shí)保持與包含對(duì)角線的圖形相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖13：拉直曲線，扭曲卐字。

最后，要將每個(gè)交叉轉(zhuǎn)換成卐字符號(hào)，我們只需將它朝所需的方向扭轉(zhuǎn)。直觀上，該過(guò)程可以被視為如下。想象這些曲線是由躺在地上的繩子組成的。垂直和水平線段之間的交叉將平面分成四個(gè)區(qū)域。想象將一只手的四個(gè)手指放在地面上，這樣一個(gè)手指在每個(gè)區(qū)域都接觸到地面。現(xiàn)在向某個(gè)方向扭轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)手，比如順時(shí)針?lè)较颍瑫r(shí)用手指拖動(dòng)繩子，并將繩子限制在垂直和水平的線上。作為一個(gè)例子，考慮在安提阿邪惡之眼的幾何鑲嵌地毯上發(fā)現(xiàn)的卐字記號(hào)回文圖案[15]，[29]。該過(guò)程在圖13和14中示出，為了清楚起見(jiàn)，每條曲線分開(kāi)，在底部，兩條曲線一起示出。請(qǐng)注意，交點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持固定，旋轉(zhuǎn)操作可以無(wú)限期地進(jìn)行，以獲得從卐字記號(hào)中出現(xiàn)的越來(lái)越深的螺旋。請(qǐng)注意，每次卐字被扭曲時(shí)，可能需要重新縮放，以便所有相鄰平行線對(duì)之間的間距保持不變。

圖14：扭轉(zhuǎn)交叉形成卐字圖案。

描述的算法回答了有關(guān)這種設(shè)計(jì)的其他幾個(gè)問(wèn)題。因?yàn)槲覀兛梢宰杂傻匾皂槙r(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蚺で總€(gè)卐字，所以我們可以自由地選擇任何這樣的組合。作為一個(gè)例子，考慮在羅馬曲線形圖案設(shè)計(jì)的背景下，圖6的sona圖中的五個(gè)點(diǎn)的圖案。圖13(右下)顯示了該圖案的卐字字符曲線形版本，所有的卐字字符以順時(shí)針?lè)较虼蜷_(kāi)。另一方面，圖15顯示了帶有一個(gè)逆時(shí)針卍字符(左)和兩個(gè)逆時(shí)針卍字符(右)的示例。據(jù)我們所知，在任何羅馬馬賽克考古遺址上都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這些圖案。因此，我們的算法也可以用來(lái)獲得新的設(shè)計(jì)。

圖15：左邊有一個(gè)逆時(shí)針?lè)较虻膮d字，右邊有兩個(gè)。

另一個(gè)問(wèn)題是，要完成一個(gè)完整的卐字符號(hào)回文圖案，需要多少個(gè)閉合曲線形曲線。首先請(qǐng)注意，圖12中的四條曲線可以被視為sona或kolam圖，其中一些區(qū)域不包含黑色的小方形面板。這些區(qū)域毗鄰中央白色方形面板和四個(gè)白色矩形面板。另外，正如剛才指出的，任何sona繪圖都可以通過(guò)扭曲交叉點(diǎn)轉(zhuǎn)換為卍字符曲線形圖案。此外，對(duì)于任何一組點(diǎn)，都有許多可能由一條曲線組成的sona圖。因此，對(duì)于切德沃斯面板的排列，如果我們不要求最終的圖紙包含所有32個(gè)卍字符，那么就存在大量可能的卍字符曲線形圖案，只使用一條曲線。如果不使用反射板，并且整個(gè)區(qū)域是一個(gè)正方形或矩形，其邊長(zhǎng)有公因數(shù)，例如圖12和圖8中的情況，那么我們需要不止一條曲線，而如果邊長(zhǎng)沒(méi)有公因數(shù)(即相對(duì)素?cái)?shù))，例如圖9中的3 × 8面板，那么一條曲線就足夠了。如果使用反射板，就像切德沃斯的設(shè)計(jì)一樣，那么情況就更復(fù)雜了。如果對(duì)面板的放置沒(méi)有限制，那么無(wú)論包含圓點(diǎn)的矩形的尺寸如何，總是可以用單一曲線構(gòu)造sona曲線圖案。這源于Chavey[4]的工作，他證明了幾個(gè)關(guān)于繪制對(duì)稱(chēng)曲線圖案的定理，這些定理依賴(lài)于所使用的反射板的對(duì)稱(chēng)布置。

6.結(jié)論

乍看之下，在英格蘭切德沃斯的羅馬別墅餐廳地板馬賽克上發(fā)現(xiàn)的卐字記號(hào)回文圖案，似乎是一個(gè)相當(dāng)錯(cuò)綜復(fù)雜的設(shè)計(jì)，為其羅馬設(shè)計(jì)師的智慧和創(chuàng)造力贏得了贊譽(yù)。這里提供的這種圖案的幾何分析揭示了一種簡(jiǎn)單的算法，通過(guò)這種算法，羅馬人可以很容易地構(gòu)建出這種和其他這種看似復(fù)雜的圖案。這種算法允許構(gòu)建新的替代設(shè)計(jì)。此外，該算法可用于分類(lèi)羅馬回文圖案，并在部分損壞的馬賽克中重建它們。

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青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

標(biāo)簽： 揭秘羅馬馬賽克回文圖案的繪制 切德沃斯