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探索勾股定理

課程簡(jiǎn)介

一：情景導(dǎo)入課題：探索勾股定理 二：探究活動(dòng)： 在網(wǎng)格紙中探究：以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形A，B，C，探究三個(gè)正方形的面積與中間等腰直角三角形三邊的關(guān)系。得出：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 三：探究活動(dòng)： 在網(wǎng)格紙中探究：以任意直角三角形三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形P，Q，R，探究三個(gè)正方形的面積與中間直角三角形三邊的關(guān)系。得出：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 在這里：探究R的面積時(shí)，不能用數(shù)網(wǎng)格直接求出，用到了“割補(bǔ)法”。 四：發(fā)現(xiàn)結(jié)論 勾股定理： 文字語(yǔ)言：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 符號(hào)語(yǔ)言：在Rt△ABC中,∠C= 90°,則 AC2+BC2=AB2 (或a2+b2=c2 )

設(shè)計(jì)思路

一：由數(shù)學(xué)小故事導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究熱情。 二：探究活動(dòng)：先由等腰直角三角形探究勾股定理，再到一般直角三角形探究勾股定理，都能得到直角三角形三邊關(guān)系。由特殊到一般符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，順理成章得到結(jié)論。 三：學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)，經(jīng)歷觀察，分析，計(jì)算，歸納得出“勾股定理”。

勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納筆記

勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a+b=c

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，a+b=c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3、勾股數(shù)：滿足a+b=c的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

常用的勾股數(shù)及其通用公式：

1)3n,4n,5n(n是正整數(shù))

例如：(3、4、5)，(6、8、10)......

2) 2n+1,2n+2n，2n+2n+1(n是正整數(shù))

例如：(5,12,13)，(7,24,25)......

注意：常用簡(jiǎn)單的勾股數(shù)需牢記，出卷老師常以此做文章出考題。

2.1、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想：就是通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”，和“以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化.

2.2、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題。

2.3、分類討論的思想

分類討論的思想是指把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，或者有些問(wèn)題包括多種情況時(shí)，要分情況討論。運(yùn)用分類討論思想時(shí)要注意：每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn);分類時(shí)要做到不重不漏。

2.4、函數(shù)思想(或函數(shù)與方程的思想)

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維策略。

重要領(lǐng)悟：利用勾股定理，建立方程是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，設(shè)未知數(shù)把未知的量與已知的量集中到同一個(gè)直角三角形中，再通過(guò)勾股定理建立方程，然后再解方程得解。

勾股定理必背10個(gè)公式

1、勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。

2、這個(gè)定理在中國(guó)又稱為“商高定理”，在外國(guó)稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

3、 勾股定理(又稱商高定理，畢達(dá)哥拉斯定理)是一個(gè)基本的幾何定理，早在中國(guó)商代就由商高發(fā)現(xiàn)。

4、據(jù)說(shuō)畢達(dá)高拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。

5、 勾股定理指出： 直角三角形兩直角邊(即“勾”，“股”)邊長(zhǎng)平方和等于斜邊(即“弦”)邊長(zhǎng)的平方。

6、 也就是說(shuō)， 設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼 a2 + b2 = c2 勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。

7、 勾股數(shù)組 滿足勾股定理方程a2 + b2 = c2的正整數(shù)組(a,b,c)。

8、例如(3,4,5)就是一組勾股數(shù)組。

9、 由于方程中含有3個(gè)未知數(shù)，故勾股數(shù)組有無(wú)數(shù)多組。

10、 推廣 如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩斜邊看作在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的投影，則可以從另一個(gè)角度考察勾股定理的意義。

11、即，向量長(zhǎng)度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長(zhǎng)度的平方之和。

12、在直角三角形中,兩直角邊的平方和等斜邊的平方。

13、a^2+b^2=c^2。

勾股定理的算法

勾股定理,直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

A²+B²=C²

C=√(A²+B²)

√(120²+90²)=√22500=√150²=150

例如直角三角形 的三條邊是3(直角邊)、4(直角邊)、5(斜邊)

3²+4²=5²

5=√(3²+4²)=√5²=5

勾股定理證明最簡(jiǎn)單的方法

勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的證明方法有很多，一起看一下具體內(nèi)容。

最簡(jiǎn)單的勾股定理證明方法

做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像下圖那樣拼成兩個(gè)正方形。

發(fā)現(xiàn)四個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形，剛好可以組成邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.

過(guò)點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M;再過(guò)點(diǎn)

F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC

∴∠MPC=90°

∵BM⊥PQ

∴∠BMP=90°

∴BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC=90°

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°

∴∠QBM=∠ABC

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA

同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF

即a2+b2=c2。

三角形三邊公式定理

三角形的三邊關(guān)系定理：三角形第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差。可以表示為兩邊之差<第三邊<兩邊之和。

三角形的三邊關(guān)系定理

設(shè)三邊為a,b,c,則有

a+b>c

a+c>b

b+c>a

三邊關(guān)系推論：a>b-cc>b-ab>a-c

三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用

①判斷三條已知線段能否組成三角形;

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍;

③證明線段不等關(guān)系。

特殊

直角三角形

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。

等腰直角三角形

等腰直角三角形三邊之比：1：1：根號(hào)二。

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