探索勾股定理
課程簡(jiǎn)介
一:情景導(dǎo)入課題:探索勾股定理 二:探究活動(dòng): 在網(wǎng)格紙中探究:以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形A,B,C,探究三個(gè)正方形的面積與中間等腰直角三角形三邊的關(guān)系。得出:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 三:探究活動(dòng): 在網(wǎng)格紙中探究:以任意直角三角形三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形P,Q,R,探究三個(gè)正方形的面積與中間直角三角形三邊的關(guān)系。得出:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 在這里:探究R的面積時(shí),不能用數(shù)網(wǎng)格直接求出,用到了“割補(bǔ)法”。 四:發(fā)現(xiàn)結(jié)論 勾股定理: 文字語(yǔ)言:直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 符號(hào)語(yǔ)言:在Rt△ABC中,∠C= 90°,則 AC2+BC2=AB2 (或a2+b2=c2 )
設(shè)計(jì)思路
一:由數(shù)學(xué)小故事導(dǎo)入,激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究熱情。 二:探究活動(dòng):先由等腰直角三角形探究勾股定理,再到一般直角三角形探究勾股定理,都能得到直角三角形三邊關(guān)系。由特殊到一般符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,順理成章得到結(jié)論。 三:學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng),經(jīng)歷觀察,分析,計(jì)算,歸納得出“勾股定理”。
勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納筆記
勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納
1、勾股定理
直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方,即a+b=c
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系,a+b=c,那么這個(gè)三角形是直角三角形。
3、勾股數(shù):滿足a+b=c的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù)。
常用的勾股數(shù)及其通用公式:
1)3n,4n,5n(n是正整數(shù))
例如:(3、4、5),(6、8、10)......
2) 2n+1,2n+2n,2n+2n+1(n是正整數(shù))
例如:(5,12,13),(7,24,25)......
注意:常用簡(jiǎn)單的勾股數(shù)需牢記,出卷老師常以此做文章出考題。
2.1、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想:就是通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái),通過(guò)“以形助數(shù)”,和“以數(shù)輔形”,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化.
2.2、化歸與轉(zhuǎn)化的思想
化歸與轉(zhuǎn)化思想是指將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題,將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題,將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題。
2.3、分類討論的思想
分類討論的思想是指把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求,分成若干類,轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決,或者有些問(wèn)題包括多種情況時(shí),要分情況討論。運(yùn)用分類討論思想時(shí)要注意:每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn);分類時(shí)要做到不重不漏。
2.4、函數(shù)思想(或函數(shù)與方程的思想)
函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維策略。
重要領(lǐng)悟:利用勾股定理,建立方程是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,設(shè)未知數(shù)把未知的量與已知的量集中到同一個(gè)直角三角形中,再通過(guò)勾股定理建立方程,然后再解方程得解。
勾股定理必背10個(gè)公式
1、勾股定理:在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。
2、這個(gè)定理在中國(guó)又稱為“商高定理”,在外國(guó)稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。
3、 勾股定理(又稱商高定理,畢達(dá)哥拉斯定理)是一個(gè)基本的幾何定理,早在中國(guó)商代就由商高發(fā)現(xiàn)。
4、據(jù)說(shuō)畢達(dá)高拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定后,即斬了百頭牛作慶祝,因此又稱“百牛定理”。
5、 勾股定理指出: 直角三角形兩直角邊(即“勾”,“股”)邊長(zhǎng)平方和等于斜邊(即“弦”)邊長(zhǎng)的平方。
6、 也就是說(shuō), 設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那麼 a2 + b2 = c2 勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法,是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。
7、 勾股數(shù)組 滿足勾股定理方程a2 + b2 = c2的正整數(shù)組(a,b,c)。
8、例如(3,4,5)就是一組勾股數(shù)組。
9、 由于方程中含有3個(gè)未知數(shù),故勾股數(shù)組有無(wú)數(shù)多組。
10、 推廣 如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量,將兩斜邊看作在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的投影,則可以從另一個(gè)角度考察勾股定理的意義。
11、即,向量長(zhǎng)度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長(zhǎng)度的平方之和。
12、在直角三角形中,兩直角邊的平方和等斜邊的平方。
13、a^2+b^2=c^2。
勾股定理的算法
勾股定理,直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
A²+B²=C²
C=√(A²+B²)
√(120²+90²)=√22500=√150²=150
例如直角三角形 的三條邊是3(直角邊)、4(直角邊)、5(斜邊)
3²+4²=5²
5=√(3²+4²)=√5²=5
勾股定理證明最簡(jiǎn)單的方法
勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的證明方法有很多,一起看一下具體內(nèi)容。
最簡(jiǎn)單的勾股定理證明方法
做8個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,把它們像下圖那樣拼成兩個(gè)正方形。
發(fā)現(xiàn)四個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形,剛好可以組成邊長(zhǎng)為,斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成多邊形,使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.
過(guò)點(diǎn)Q作QP∥BC,交AC于點(diǎn)P
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PQ,垂足為M;再過(guò)點(diǎn)
F作FN⊥PQ,垂足為N.
∵∠BCA=90°,QP∥BC
∴∠MPC=90°
∵BM⊥PQ
∴∠BMP=90°
∴BCPM是一個(gè)矩形,即∠MBC=90°
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°
∴∠QBM=∠ABC
又∵∠BMP=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA
同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF
即a2+b2=c2。
三角形三邊公式定理
三角形的三邊關(guān)系定理:三角形第三邊小于兩邊之和,大于兩邊之差。可以表示為兩邊之差<第三邊<兩邊之和。
三角形的三邊關(guān)系定理
設(shè)三邊為a,b,c,則有
a+b>c
a+c>b
b+c>a
三邊關(guān)系推論:a>b-cc>b-ab>a-c
三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用
①判斷三條已知線段能否組成三角形;
②當(dāng)已知兩邊時(shí),可確定第三邊的范圍;
③證明線段不等關(guān)系。
特殊
直角三角形
性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
性質(zhì)2:在直角三角形中,兩個(gè)銳角互余。
性質(zhì)3:在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半。
性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。
等腰直角三角形
等腰直角三角形三邊之比:1:1:根號(hào)二。
標(biāo)簽: 探索勾股定理 勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納筆記 勾股定理必背10個(gè)公式 勾股定理的算法
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